Question

【题目】请认真阅读下面的数学探究，并完成所提出的问题．

（1）探究1：如图1，在边长为的等边三角形中，是边上任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转至处，连接，求面积的最小值．

（2）探究2：如图2，若是腰长为的等腰直角三角形，，（1）中的其他条件不变，请求出此时面积的最小值．

（3）探究3：如图3，在中，，，，是边上任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转至处，、、三点共线，连接，求的面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）过点作于点，可以求出的面积，根据是等边三角形，可以得出，所以，当点与点重合时，最小，即可求出的面积的最小值为．

（2）过点作于点，可以求得的面积，易知，所以，当点与点重合时，最小，即可求出的面积的最小值为．

（3）由已知条件可证是等边三角形，所当点与点重合时，最小，即可求得的面积的最小值．

解：（1）如图，过点作于点．

∵是边长为的等边三角形，

∴，∴，

∴．

由旋转的性质可知，，，

∴是等边三角形．

∵是等边三角形，∴，

∴．

∵当点与点重合时，最小，

∴的面积的最小值为．

（2）如图，过点作于点．

∵是腰长为的等腰直角三角形，

∴，∴，．

由旋转的性质可知，，，

∴是等腰直角三角形．

∵是等腰直角三角形，

∴，∴．

∵当点与点重合时，最小，

∴的面积的最小值为．

（3）∵在中，，，，

∴，．

由旋转的性质可知，，，

∴是等边三角形．

∵当点与点重合时，最小，

∴的面积的最小值为．