题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C₁与经过点A、D、B的抛物线的一部分C₂组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，- $数学公式$ ），点M是抛物线C₂：y=mx²-2mx-3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．

解：（1）y=mx²-2mx-3m=m（x-3）（x+1），
∵m≠0，
∴当y=0时，x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）设C₁：y=ax²+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
故C₁：y= $\text{[math]}$ x²-x- $\text{[math]}$ ．

如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，
由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
设P（x， $\text{[math]}$ x²-x- $\text{[math]}$ ），则Q（x， $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ），
PQ= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ x²-x- $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x，
S_△PBC= $\text{[math]}$ PQ•OB= $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x）×3=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
当x= $\text{[math]}$ 时，S_△PBC有最大值，Smax= $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
P（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）；

（3）y=mx²-2mx-3m=m（x-1）²-4m，
顶点M坐标（1，-4m），
当x=0时，y=-3m，
∴D（0，-3m），B（3，0），
∴DM²=（0-1）²+（-3m+4m）²=m²+1，
MB²=（3-1）²+（0+4m）²=16m²+4，
BD²=（3-0）²+（0+3m）²=9m²+9，
当△BDM为Rt△时有：DM²+BD²=MB²或DM²+MB²=BD²．
①DM²+BD²=MB²时有：m²+1+9m²+9=16m²+4，
解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）；
②DM²+MB²=BD²时有：m²+1+16m²+4=19m²+9，
解得m=- $\text{[math]}$ （m= $\text{[math]}$ 舍去）．
综上，m=-1或- $\text{[math]}$ 时，△BDM为直角三角形．
分析：（1）将y=mx²-2mx-3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先用待定系数法得到抛物线C₁的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；
（3）先表示出DM²，BD²，MB²，再分两种情况：①DM²+BD²=MB²时；②DM²+MB²=BD²时，讨论即可求得m的值．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积公式，配方法的应用，勾股定理，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．