Question

20．如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．
（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？
（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．

Answer 1

分析 （1）要求B到C的时间，已知其速度，则只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间；
（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．求出OC=OB•cos30°=60$\sqrt{3}$，CD=$\frac{1}{2}$OC=30$\sqrt{3}$，OD=OC•cos30°=90，则DE=90-3v．在直角△CDE中利用勾股定理得出CD²+DE²=CE²，即（30$\sqrt{3}$）²+（90-3v）²=60²，解方程求出v=20或40，进而求出相遇处与港口O的距离．

解答 解：（1）∵∠CBO=60°，∠COB=30°，
∴∠BCO=90°．
在Rt△BCO中，∵OB=120，
∴BC=$\frac{1}{2}$OB=60，
∴快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60=1（小时）；

（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．
则OC=OB•cos30°=60$\sqrt{3}$，CD=$\frac{1}{2}$OC=30$\sqrt{3}$，OD=OC•cos30°=90，
∴DE=90-3v．
∵CE=60，CD²+DE²=CE²，
∴（30$\sqrt{3}$）²+（90-3v）²=60²，
∴v=20或40，
∴当v=20km/h时，OE=3×20=60km，
当v=40km/h时，OE=3×40=120km．

点评 此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，理解方向角的定义，得出∠BCO=90°是解题的关键，本题难易程度适中．