Question

【题目】如图，已知抛物线经过点A(3，1)与点B(0，4)．

(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；

(2)在第三象限内的抛物线上有一点P，使得PA⊥AB，求点P的坐标；

(3)若点C(，)在该抛物线上，当≤≤3时，1≤≤5，请确定的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ， 顶点坐标为(1，5)； (2)点P的坐标为(－2,－4)； (3) 的取值范围是：-1≤≤1．

【解析】

（1）将代入，解关于b、c的二元一次方程组，得到解析式进而求出顶点坐标；

（2）分别过B与点P作轴的平行线BD、PE，过点A作轴的垂线交BD于D、交PE于点E，证出AE＝PE，设点P的坐标为，分别用含m的代数式表示出AE和PE的长，进而求出点P的坐标；

（3）根据题意，分别求出q的最大值与最小值，从而确定q的取值范围．

(1)将代入得

解得

∴，

∴所求的抛物线的解析式为:， 顶点坐标为(1，5)

(2)如图，分别过B与点P作轴的平行线BD、PE，过点A作轴的垂线交BD于D、交PE于点E

∵PA⊥AB

∴

∴∠DAB+∠PAE＝90°.

由A(3，1)、B(0，4)知BD＝AD＝3

∴∠DAB＝45°

∴∠PAE＝90°－∠DAB＝90°－45°＝45°

∴∠PAE＝∠APE＝45°

∴AE＝PE

设点P的坐标为则

AE＝

PE＝

∴

解得：或(点P在第三象限，不合题意，舍去)

∴时，

∴点P的坐标为(－2,－4).

(3)∵1≤n≤5且抛物线的顶点为(1，5)

∴区间包含顶点

∴的最大值为1

在中，当时，或者

∴的最小值为－1

∴的取值范围是：-1≤≤1.