Question

20、试将7个数字：3、4、5、6、7、8、9分成两组，分别排成一个三位数和一个四位数，并且使这两个数的乘积最大，试问应该如何排列？证明你的结论？

Answer 1

分析：首先设a、b、c、d是自然数，且a＞b＞c＞d，用a、b、c、d组成两个两位数，并且使它们的乘积最大．如前所述，最高位必是a和b，推出在大自然数a的后面放较小的数码d，在较小自然数b后面放较大的数码c所得的乘积较大，根据此结论求出3、4、5、6、7、8、9组成的两组数的乘积最大．

解答：解：显然，数值大的数码应放在最高位上，但下一步怎么排呢？先考虑比较简单的情形．
设a、b、c、d是自然数，且a＞b＞c＞d，用a、b、c、d组成两个两位数，并且使它们的乘积最大．如前所述，最高位必是a和b，但下一位的排法有两种：
10a+c、10b+d或10a+d、10b+c；现比较两组数的乘积的大小：
（10a+c）（10b+d）-（10a+d）（10b+c）=100ab+10ad+10bc+cd-100ab-10ac-10bd-cd
=10ad+10bc-10ac-10bd=10（a-b）（d-c）＜0
有此可见，在大自然数a的后面放较小的数码d，在较小自然数b后面放较大的数码c所得的乘积较大．
根据上述结论，把9、8、7、6四个数字分成两组构成两个两位数时，96×87的乘积最大．同理，考虑9、8、7、6、5、4六个数字组成两个三位数时
964×875乘积最大．剩下最后一个3应如何放？不妨先虚设一个数码0、8个数字组成两个四位数乙9640×8753乘积最大．然后去掉虚设的0，组成一个三位数与一个四位数，964和8753乘积最大．

点评：本题主要考查排列与组合的知识点，解答本题的关键是首先推出一般情况下，在大自然数a的后面放较小的数码d，在较小自然数b后面放较大的数码c所得的乘积较大，本题难度较大．