题目内容

钟面数字问题
如图，钟面上有1，2，3，…，11，12这12个数字．
（1）试在某些数的前面添加负号，使它们的代数和为零
（2）能否改变钟面上的数，比如只剩下6个偶数，仍按第（1）小题的要求来做？
[思路探究]
（1）我们先试着选定任意几个数字，在其前面添加负号，如
-12-11-10+9+8+7+6-5+4+3+2+1-2．
这当然不是我们要的答案，但我们可以将其调整，比如改变1前面的符号，得
-12-11-10+9+8+7+6-5+4+3+2-1-0．
用这种方法当然可以得到许多答案，但我们并不满足．我们希望寻找其中的规律，使我们能找到更多的解答．我们发现：
在调整符号的过程中，若将一个正数变号，12个数的代数和就减少这个正数的两倍；若将一个负数变号，12个数的代数和就增加这个负数的绝对值的两倍．
要使12个数的代数和为零，其中正数的和的绝对值必须与负数的和的绝对值相等，均为12个数之和的-半，即等于39．
由此，我们只要找到几个和为39的数，将这些数添上负号即可．
由于最大3个数之和为33＜39，因此必须再添上一个6才有解答，所以添加负号的数至少要有4个．同理可知，添加负号的数最多不超过8个．
根据以上规律，就能在很短的时间内得到许多解答，但是要写出所有解答，还必须把答案作适当的分类．本题共有124个解答，亲爱的读者，你能写出这124个解答来吗？
（2）因为2+4+6+8+10+12-42，它的一半为21，而奇数不可能通过偶数求和得到，所以只剩下6个偶数时，不能按第（1）小题的要求来做．

分析：（1）欲使十二个数的和为零，其中正数的和的绝对值与负数的和的绝对值必须相等，先算出总和，再取总和的一半，在和为一半的数前加正号，其余的数前添负号即可解决问题；
（2）此外我们还可发现，由于最大的三个数12，11，10其和33＜39，因此必须再增加一个数6，才有解答（12，11，10，6），也就是说：添加负号的数至少要有四个；反过来，根据对偶律得：添加负号的数最多不超过八个．掌握了上述几条规律，我们就能够在很短的时间内得到许多解答，其总数是124个．

解答：解：（1）-1-2-3-5-4+6-7-8-9+10+11+12=0；
（2）不能．因为2+4+6+8+10+12=42，若要改变这些数前的符号使之代数和为0，则正数、负数之和需为21和-21，易知偶数之和为偶数不为奇数，所以不能改变钟面上的数…．
由于最大的三个数12，11，10其和33＜39，因此必须再增加一个数6，才有解答（12，11，10，6），也就是说：添加负号的数至少要有四个；反过来，根据对偶律得：添加负号的数最多不超过八个．掌握了上述几条规律，我们就能够在很短的时间内得到许多解答，其总数是124个．

点评：本题考查了有理数的加减混合运算．认真审题，找出规律：5个正数绝对值的和等于1，2，3，4，5，…，12这12个数的和的一半，是解决此题的关键所在．