Question

2．如图，C为线段AE上的一点，分别以AC，CE为边在AE的同侧作等边△ABC和等边△CDE，连接AD，BE交于点F．
（1）求证：AD=BE；
（2）求证：FC平分∠AFE．

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC与三角形DCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACD与三角形BCE全等，利用全等三角形的性质即可得证．
（2）由△ACD≌△BCE，得到∠ADC=∠BEC，所以C，E，D，F四点共圆，根据圆周角定理可得∠CFE=∠CDE=60°，同理∠AFC=60°，所以FC平分∠AFE．

解答 解：∵△ABC与△DCE都为等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠BCD+∠DCE，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∴C，E，D，F四点共圆，
∴∠CFE=∠CDE=60°，
同理∠AFC=60°，
∴FC平分∠AFE．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．