Question

如图，点P是直线：上的点，过点P的另一条直线交抛物线于A、B两点．

（1）若直线的解析式为，求A、B两点的坐标；

（2）①若点P的坐标为（－2，），当PA＝AB时，请直接写出点A的坐标；

②试证明：对于直线上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立．

（3）设直线交轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．

 

Answer 1

【答案】

（1）A（，），B（1，1）；（2）①A₁（－1，1），A₂（－3，9）；②过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂线，垂足分别为G、H.设P（，），A（，），由PA＝PB可证得△PAG≌△BAH，即得AG＝AH，PG＝BH，则B（，），将点B坐标代入抛物线，得，根据△的值始终大于0即可作出判断；（3）（，）．

【解析】

试题分析：（1）由题意联立方程组即可求得A、B两点的坐标；

（2）①根据函数图象上的点的坐标的特征结合PA＝AB即可求得A点的坐标；

②过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂线，垂足分别为G、H.设P（，），A（，），由PA＝PB可证得△PAG≌△BAH，即得AG＝AH，PG＝BH，则B（，），将点B坐标代入抛物线，得，根据△的值始终大于0即可作出判断；

（3）设直线：交y轴于D，设A（，），B（，）．过A、B两点分别作AG、BH垂直轴于G、H．由△AOB的外心在AB上可得∠AOB＝90°，由△AGO∽△OHB，得，则，联立得，依题意得、是方程的两根，即可求得b的值，设P（，），过点P作PQ⊥轴于Q，在Rt△PDQ中，根据勾股定理列方程求解即可.

（1）依题意，得解得， 

∴A（，），B（1，1）；

（2）①A₁（－1，1），A₂（－3，9）；

②过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂线，垂足分别为G、H.

设P（，），A（，），

∵PA＝PB，

∴△PAG≌△BAH，

∴AG＝AH，PG＝BH，

∴B（，），

将点B坐标代入抛物线，得，

∵△＝

∴无论为何值时，关于的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A；

（3）设直线：交y轴于D，设A（，），B（，）．

过A、B两点分别作AG、BH垂直轴于G、H．

∵△AOB的外心在AB上，

∴∠AOB＝90°，

由△AGO∽△OHB，得，

∴．

联立得，

依题意得、是方程的两根，

∴，

∴，即D（0，1）．

∵∠BPC＝∠OCP，

∴DP＝DC＝3．

设P（，），过点P作PQ⊥轴于Q，

在Rt△PDQ中，，

∴．

解得（舍去），，

∴P（，）．

∵PN平分∠MNQ，

∴PT＝NT，

∴.

考点：二次函数的综合题

点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.