题目内容
1．如图1，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点M（-2，-4），与x轴交于点B（-1，0）和点C与y轴交于A点．（1）求二次函数的解析式．
（2）在x轴上存在一点N，使得∠NMC=∠BAC，求点N的坐标．
（3）如图2，设点D在y轴负半轴上一动点，过A，B，D三点的⊙O1交x轴于另一点E，连接BD，DE，O1E，当点D在y轴负半轴上运动时，求S${\;}_{△{O}_{1}DE}$：S△BOD的值．
分析 （1）利用待定系数法即可即可解决问题．
（2）如图1中，连接AB、AC、作MD⊥x轴于D，首先证明∠OAC=∠DMC=45°，再证明△AOB∽△MDN，推出$\frac{OA}{DM}$=$\frac{OB}{DN}$，求得DN=2，即可解决问题．
（3）如图3中，连接AB、作O1N⊥DE于N．由△AOB∽△EOD，推出$\frac{AO}{OE}$=$\frac{OB}{OD}$，推出OE=2OD，设OD=k，则OE=2k，DE=$\sqrt{5}$k，由△BOD∽△O1ND，推出$\frac{{S}_{△D{O}_{1}N}}{{S}_{△BOD}}$=（$\frac{DN}{OD}$）2=（$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}k}{k}$）2=$\frac{5}{4}$，由此即可解决问题．
解答 解：（1）把M（-2，-4），B（-1，0）点坐标代入y=-x2+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{-4-2b+c=-4}\\{-1-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2．
（2）如图1中，连接AB、AC、作MD⊥x轴于D．
对于抛物线y=-x2+x+2，令y=0，-x2+x+2=0，解得x=-1或2，
∴C（2，0），
∴OA=OC=2，DM=DC=4，
∴∠OAC=∠DMC=45°，
∵∠NMC=∠BAC，
∴∠NMD=∠BAO，∵∠AOB=∠MDN=90°，
∴△AOB∽△MDN，
∴$\frac{OA}{DM}$=$\frac{OB}{DN}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{DN}$，
∴DN=2，
∴ON=4，
∴点N的坐标为（-4，0）．
（3）如图3中，连接AB、作O1N⊥DE于N．
∵∠AOB=∠DOE，∠BAO=∠OED，
∴△AOB∽△EOD，
∴$\frac{AO}{OE}$=$\frac{OB}{OD}$，
∴$\frac{2}{OE}$=$\frac{1}{OD}$，
∴OE=2OD，设OD=k，则OE=2k，DE=$\sqrt{5}$k，
∵O1N⊥DE，
∴DN=EN，∠DO1N=∠EO1N，
∵∠DO1E=2∠DBE，
∴∠OBD=∠DO1N，
∵∠BOD=∠O1ND=90°，
∴△BOD∽△O1ND，
∴$\frac{{S}_{△D{O}_{1}N}}{{S}_{△BOD}}$=（$\frac{DN}{OD}$）2=（$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}k}{k}$）2=$\frac{5}{4}$，
∵${S}_{△{O}_{1}DE}$=2${S}_{△D{O}_{1}N}$，
∴$\frac{{S}_{△D{O}_{1}E}}{{S}_{△BOD}}$=$\frac{10}{4}$=$\frac{5}{2}$．
点评 本题考查二次函数综合题、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理垂径定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
津桥教育计算小状元系列答案
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