Question

【题目】已知如图，等边的边长为，点分别从、两点同时出发，点沿向终点运动，速度为；点沿，向终点运动，速度为，设它们运动的时间为．

（1）当为何值时，？当为何值时，？

（2）如图②，当点在上运动时，与的高交于点，与是否总是相等？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当时，PQ∥AB，当时，；（2）OP=OQ，理由见解析

【解析】

（1）当PQ∥AB时，△PQC为等边三角形，根据PC=CQ列出方程即可解出x的值，当PQ⊥AC时，可得，列出方程解答即可；

（2）作QH⊥AD于点H，计算得出QH=DP，从而证明△OQH≌△OPD（AAS）即可．

解：（1）∵当PQ∥AB时，

∴∠QPC=∠B=60°，

又∵∠C=60°

∴△PQC为等边三角形

∴PC=CQ，

∵PC=4-x，CQ=2x，

由4-x=2x

解得：，

∴当时，PQ∥AB；

若PQ⊥AC，

∵∠C=60°，

∴∠QPC=30°，

∴，

即，

解得：

∴当时，

（2）OP=OQ，理由如下：

作QH⊥AD于点H，

∵AD⊥BC，

∠QAH=30°，

∴，

∵DP=BP-BD=x-2，

∴DP=QH，

∴在△OQH与△OPD中

∴△OQH≌△OPD（AAS）

∴OQ=OP