Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足=，

   过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．

  （1）求证：AE⊥DE；

  （2）若tan∠CBA=，AE=3，求AF的长．

    

 

Answer 1

（1）证明：连接OC，

              ∵OC=OA，

              ∴∠BAC=∠OCA，

              ∵=，

              ∴∠BAC=∠EAC，

              ∴∠EAC=∠OCA，

              ∴OC∥AE，                3分

              ∵DE切⊙O于点C，

              ∴OC⊥DE，

              ∴AE⊥DE；         6分                                     

                                              

     （2）解：∵AB是⊙O的直径，

              ∴△ABC是直角三角形，

              ∵tan∠CBA=，

              ∴∠CBA=60°，

              ∴∠BAC=∠EAC=30°，

              ∵△AEC为直角三角形，AE=3，

              ∴AC=2，                          9分

              连接OF，

              ∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，

              ∴△OAF为等边三角形，

              ∴AF=OA=AB，

              在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，

              ∴BC=2，（直接给出AF=2不扣分）

              ∴AB=4，

              ∴AF=2．                               12分