Question

9．如图，平面直角坐标系中，等边△OAB的A点为（3，0），点B在第一象限，若以B为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转90°得到△O₁A₁B，则点A₁的坐标是（$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$）．

Answer 1

分析 作BC⊥x轴、BC₁⊥A₁O₁、延长O₁A₁交x轴于点D，根据等边三角形的性质和勾股定理得出OC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3}{2}$，BC=BC₁=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，继而由OD=CD-OC=BC₁-OC、A₁D=C₁D-C₁A₁=BC-OC可得答案．

解答 解：如图，过点B作BC⊥x轴于点C，作BC₁⊥A₁O₁于C₁，延长O₁A₁交x轴于点D，

∵OA=OB=3，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3}{2}$，BC=BC₁=$\sqrt{O{B}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
则OD=CD-OC=BC₁-OC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$，
A₁D=C₁D-C₁A₁=BC-OC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$，
∴点A₁坐标为（$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$），
故答案为：（$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$）．

点评 本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．