题目内容

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．在AB的同侧分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆．图中阴影部分的面积分别记作为S₁和S₂．
（1）求证：S₁+S₂=S_△ABC；
（2）若Rt△ABC的周长是2+ $数学公式$ ，斜边长为2，求图中阴影部分面积的和．

解：（1）在Rt△ABC中，有BC²+AC²=AB²
∴S₁+S₂= $\text{[math]}$ π（ $\text{[math]}$ AC）²+ $\text{[math]}$ π（ $\text{[math]}$ BC）²- $\text{[math]}$ π（ $\text{[math]}$ AB）²+S_△ABC
= $\text{[math]}$ π（BC²+AC²-AB²）+S_△ABC=S_△ABC．
（2）∵AB+AC+BC=2+ $\text{[math]}$ ，AB=2，
∴AC+BC= $\text{[math]}$ ．
两边平方得：AC²+BC²+2AC•BC=6，
又AC²+BC²=AB²=4，
∴2AC•BC=2，AC•BC=1．
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ AC•BC= $\text{[math]}$ ．
∴图中阴影部分面积的和为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据题给图形可知：S₁+S₂= $\text{[math]}$ π（ $\text{[math]}$ AC）²+ $\text{[math]}$ π（ $\text{[math]}$ BC）²- $\text{[math]}$ π（ $\text{[math]}$ AB）²+S_△ABC，又在Rt△ABC中BC²+AC²=AB²，继而即可得出答案；
（2）要求阴影部分的面积求出Rt△ABC的面积即可，也即求出 $\text{[math]}$ AC•BC即可．
点评：本题考查勾股定理的知识，解题关键是找出各个图形之间的关系，证得S₁+S₂=S_△ABC，难度一般．