Question

10．已知关于x的函数y=mx²-x-（m-1）．
（1）m=0时，y=mx²-x-（m-1）是一次函数；
（2）求证：对任何实数m，y=mx²-x-（m-1）的图象与x都有公共点；
（3）若是关于x的二次函数y=mx²-x-（m-1）的图象与x有两个不同的公共点A、B（点A在点B左边），图象顶点为C，且△ABC是等腰直角三角形，求m的值；
（4）是否存在这样的点P，使得对任何实数m，y=mx²-x-（m-1）的图象都经过P点？若存在，求出所有P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）要使y=mx²-x-（m-1）是一次函数，需有m=0；
（2）当m=0时，y=-x+1，与x轴有交点，当m≠0时，求出△，进行判断；
（3）先求出二次函数与x轴的交点，然后求出AB的长度，根据△ABC为等腰直角三角形，可得AB=2|y_c|，列出等式，求出m的值；
（4）先对二次函数进行因式分解，然后找出P点．

解答 解：（1）当m=0时，
y=mx²-x-（m-1）=-x+1为一次函数；
（2）当m=0时，y=-x+1与x轴交于点（1，0），
当m≠0时，△=（-1）²+4m（m-1）=（2m-1）²≥0，
故对任何实数m，y=mx²-x-（m-1）的图象与x都有公共点；
（3）∵二次函数与x有两个不同的公共点A、B，
∴△=（2m-1）²＞0，
∴m≠$\frac{1}{2}$，
令mx²-x-（m-1）=0，
解得：x₁=1，x₂=-$\frac{m-1}{m}$，
∴AB=|1+$\frac{m-1}{m}$|=|$\frac{2m-1}{m}$|，
顶点C的纵坐标为：y_c=$\frac{-4m（m-1）-1}{4m}$，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=2|y_c|，
即|$\frac{2m-1}{m}$|=2|$\frac{-4m（m-1）-1}{4m}$|，
解得：m₁=-$\frac{1}{2}$，m₂=$\frac{3}{2}$，m₃=$\frac{1}{2}$（不合题意，舍去），
∴m的值为-$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$；
（4）y=mx²-x-（m-1）=[mx+（m-1）]（x-1），
对任何实数m，当x=1时，y=0，
当mx+m=0时，x=-1，
此时y=2，
故点P的坐标为（1，0）或（-1，2）．
故答案为：0．

点评 本题考查了二次函数的综合应用，涉及了抛物线与x轴的交点，等腰直角三角形以及二次函数的性质，△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．