Question

【题目】如图，为的直径，，为的切线，直线交延长线于，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求阴影部分的周长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的周长是

【解析】

（1）过点O作OH⊥CD，垂足为H，连接OD，先证明BOC≌AOE（ASA），可得OC＝OE，进而可证得OH＝OB，再结合OH⊥CD即可得证；

（2）先根据求得，再证得∠AOH＝∠DOA+∠DOH＝120°，进而利用解直角三角形求得，利用弧长公式计算弧长即可求得答案．

（1）证明：如图，过点O作OH⊥CD，垂足为H，连接OD，

∵BC，AD为⊙O的切线，

∴∠CBO＝∠OAE＝90°，

又OB＝OA，∠BOC＝∠EOA，

∴BOC≌AOE（ASA），

∴OC＝OE，

又DC＝DE，

∴DO平分∠ADE，OD⊥CE，

∴OH＝OA，

∴OH＝OB，

又∵OH⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵在RtAEO中，∠E＝60°，

∴

∵AE＝1，

∴，

∵OD⊥CE，

∴∠DOA＝90°－∠EOA＝∠E＝60°，

∠DOH＝90°－∠COH＝90°－∠COB＝90°－∠AOE＝∠E＝60°，

，

∴弧AH的长是，

∴阴影部分的周长是．