Question

【题目】（1）教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．

定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：

（2）如图②，在中，直线、分别是边、的垂直平分线，直线、的交点为．过点作于点．求证：．

（3）如图③，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若，，则的长为_____________．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）5．

【解析】

（1）根据垂直得出，证明△PAC≌△PBC（SAS）即可；

（2）如图②中，由直线、的交点为，证明出，利用等腰三角形三线合一即可证明；

（3）连接BD，BE，利用垂直平分线的性质，得出AD=BD，BE=CE，证明△BDE是等边三角形即可．

（1）如图①，定理证明：∵MN⊥AB，

∴

又∵

∴△PAC≌△PBC（SAS），

∴

（2）连结OA、OB、OC．

∵直线m是边BC的垂直平分线，

∴

∵直线n是边AC的垂直平分线，

∴

∴

∵OH⊥AB，

∴AH=BH．

（3）连接BD，BE，

∵∠ABC=120°，AB=AC，

∴∠A=∠C=30°，

∵直线垂直平分AB， 直线k垂直平分BC，

∴AD=BD，BE=CE，

∴∠A=∠ABD=∠EBＣ=∠C=30°，

∴∠DBE=120°-30°-30°=60°，∠EDＢ=∠A+∠ABD=60°，

∴△BED是等边三角形，

∴AD=BD=BE=CE=DE，

∵AC=15，

∴，

故答案为：5.