Question

14．已知，△ABC和△CDE都是等边三角形，
（1）若点B，C，D在同一条直线上．求证：BE=AD．
（2）若B，C，D不在同一条直线上，上面结论是否还成立，画图，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC和△CDE都是等边三角形得出BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，再由SAS定理即可得出△BCE≌△ACD，进而得到BE=AD；
（2）根据△ABC和△CDE都是等边三角形得出BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，再由SAS定理即可得出△BCE≌△ACD，进而得到BE=AD．

解答 （1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
∴在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD （SAS）．
∴BE=AD；

（2）成立，
理由是：如图2，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD，
∴AD=BE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是推出△BCE≌△ACD，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．