Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc交x轴于点A，B，点B的坐标为(4，0)，与y轴于交于点C(0，﹣2)．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；

（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），

①求点M的坐标及⊙M的半径；

②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点Q运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的坐标为，45°；（3）①点的坐标为，的半径为；②在点运动过程中的值不变，其值为

【解析】

（1）将，代入解析式，求出解析式的系数，即可得解；

（2）将代入解析式，求出，可得点坐标；令，求出A、B坐标，由勾股定理或两点间距离公式求出AD、BD，再由面积法求出BH，从而求出∠ADB的正弦值，可知∠ADB的度数；

（3）①由圆周角定理结合等腰直角三角形边的关系求出点的坐标和⊙的半径；②证明QH和QP所在的△HMQ和△QMP相似即可．

（1）将，代入解析式得，，，

∴设抛物线的解析式为：

（2）当时，

∴点的坐标为，

当时，或4，

∴，

如图，连结，作于，

∵，，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）①如图，连接，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴点的坐标为，⊙的半径为；

②如图，连接，，

∵过点作⊙的切线交于点，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴∽，

∴，

∴在点运动过程中的值不变，其值为．