Question

【题目】已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，E为AB中点，连接DE、CE、CD．

（1）求证：DE=CE；

（2）若∠CAB=25°，∠DBA=35°，判断△DEC的形状，并说明理由；

（3）当∠CAB+∠DBA=45°时，若CD=12，取CD中点F，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△DEC是等边三角形，理由见解析；（3）6

【解析】

（1）由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；

（2）根据直角三角形的性质得到DE=AE=BE=CE，根据等腰三角形的性质得到∠CAB=∠ACE=25°，∠DBA=∠BDE=35°，根据三角形的外角的性质得到∠BED=50°，∠ADE=70°，由等边三角形的判定定理即可得到结论；

（3）同（2）证出∠DEC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．

（1）证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，E是AB的中点，

∴DE=AB，CE=AB，

∴DE=CE；

（2）△DEC是等边三角形，

理由：∵∠ACB=∠ADB=90°，E为AB中点，

∴DE=AE=BE=CE，

∴∠CAB=∠ACE=25°，

∠DBA=∠BDE=35°，

∴∠BED=50°，∠AED=70°，

∴∠DEC=180°-50°-70°=60°，

∴△DEC是等边三角形；

（3）∵∠ACB=∠ADB=90°，E为AB中点，

∴DE=AE=BE=CE，

∴∠CAB=∠ACE，∠DBA=∠BDE，

∴∠BED=2∠CAB，∠AED=2∠ABD，

∴∠DEC=180°-2（∠CAB+∠DBA）=90°，

∴△DEC是等腰直角三角形，

∵点F是斜边CD上的中点，

∴EF=CD=6．