题目内容

如图，在平面直角坐标系中，已知点A为第二象限内一点，过点A作x轴垂线交x轴于点B，点C为x轴正半轴上一点，且OB、OC的长分别为方程x²-4x+3=0的两根（OB＜OC）．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）作直线AC，过点C作射线CE⊥AC于C，在射线CE上有一点M（5，2），求直线AC的解析式；
（3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在点Q和点P（点P在直线AC上），使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）解方程x²-4x+3=0得x₁=1，x₂=3．
依题意得点B的坐标是（-1，0），C（3，0）．

（2）设CE的直线解析式为y=kx+b，把点C，M的坐标代入可得
$\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ．
得出CE的直线解析式为y=x-3，
又因为直线CE⊥AC，故直线AC的解析式为y=-x+3．

（3）存在．
Q₁（3，3）；Q₂（ $\text{[math]}$ ）；Q₃（ $\text{[math]}$ ）；Q₄（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）依题意OB，OC分别为方程x²-4x+3=0的两根，求解后可求出点B，C的坐标．
（2）设CE的直线解析式为y=kx+b，把已知坐标代入可得解析式，然后根据CE⊥AC求出直线AC的解析式即可．
（3）已知点P在直线AC上，要作以O、C、P、Q为顶点的菱形，CP=OC，根据OC的长度，并且依据直线AC的解析式，即可求得P的坐标，OC必须平行且相等于QP，即可求得Q的坐标．
点评：本题考查的是一次函数的综合运用，菱形的性质以及一元二次方程的有关知识，难度中等．