题目内容
【题目】如图1，在平面直角坐标系中，△OAB是等边三角形，点B的坐标为（4，0），点C（a，0）是x轴上一动点，其中a≠0，将△AOC绕点A逆时针方向旋转60°得到△ABD，连接CD．
（1）求证；△ACD是等边三角形；
（2）如图2，当0＜a＜4时，△BCD周长是否存在最小值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，当点C在x轴上运动时，是否存在以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）存在，a=2；（3）a=8．
【解析】
（1）根据旋转变换的性质、等边三角形的判定定理证明；
（2）证明△OAC≌△BAD，根据全等三角形的性质得到BD=OC，根据等边三角形的性质计算即可；
（3）分点C在x轴的负半轴上、点C在线段OB上、点C在点B的右侧三种情况，根据直角三角形的性质计算．
（1）证明：由旋转变换的性质可知，AC=AD，∠CAD=60°，
∴ACD是等边三角形；
（2）解：存在，a=2，
理由如下：∵△OAB和△ACD都是等边三角形，
∴AO=AB，AC=AD，∠OAB=∠CAD=60°，
∴∠OAB-∠CAB=∠CAD-∠CAB，即∠OAC=∠BAD，
在△OAC和△BAD中，
，
∴△OAC≌△BAD（SAS）
∴BD=OC，
∴△BCD周长=BC+BD+CD=BC+OC+CD=OB+CD，
当CD最小时，△BCD周长最小，
∵ACD是等边三角形，
∴CD=AC，
当AC⊥OB时，即OC=2，AC最小，最小值为
=2
，
∴△BCD周长的最小值为4+2，此时a=2；
（3）解：当点C在x轴的负半轴上时，∠BDC=90°，
则∠ADB=30°，
∵△OAC≌△BAD，
∴∠ACO=∠ADB=30°，
∴∠BCD=30°，
∴BD=
BC，
∴OC=BC，
∴OC=4，
则a=-4；
当点C在线段OB上时，∠DBC=120°，
∴不存在以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形，
∴a不存在；
当点C在点B的右侧时，∠BCD=90°，
则∠ACO=30°，
∵∠AOC=60°，
∴∠OAC=90°，又∠ACO=30°，
∴OC=2OA=8，
∴a=8．
