Question

【题目】在同一平面内，若一个点到一条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“伴侣点”．在平面直角坐标系中，已知点M（1，0），过点M作直线l平行于y轴．

（1）试判断点A（－1，a）是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由；

（2）若点P（2m－5，8）是直线l的“伴侣点”，求m的取值范围；

（3）若点A（－1，a）、B（b，2a）、C（－，a－1）是平面直角坐标系中的三个点，将三角形ABC进行平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为E，点C的对应点为F．若点F刚好落在直线l上，F的纵坐标为a+b，点E落在x轴上，且三角形MFD的面积为，试判断点B是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点A不是直线l的“伴侣点”；（2）m的取值范围为：；（3）点B是直线l的“伴侣点”，理由见解析

【解析】

（1）求出点A到直线l的距离即可判断；

（2）根据“伴侣点”的定义列出不等式求解即可

（3）根据平移的性质构建方程组求出a、b的值即可判断；

解：（1）∵A（1，a），直线l：x＝1，

∴点A到直线l的距离为2，2＞1，

∴点A不是直线l的“伴侣点”．

（2）若点P（2m－5，8）是直线l的“伴侣点”，

则点P到一条直线的距离不大于1，

∴，

解得：，

故m的取值范围为：.

（3）∵C（，a1）平移到点F（1，a＋b），

∴横坐标加，纵坐标加b＋1，

∴D（，a＋b＋1），E（b＋，2a＋b＋1），

∵点E落在x轴上，

∴2a＋b＋1＝0，

∵三角形MFD的面积为，

∴|a＋b|＝，

∴a＋b＝±，

当a＋b＝时，解得a＝，b＝2，此时B（2，3），点B是直线l的“伴侣点”．

当a＋b＝时，a＝，b＝0，此时B（0，1），点B是直线l的“伴侣点”．