Question

如图，△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．

①若△BCD的周长为8，求BC的长；

②若BD平分∠ABC，求∠BDC的度数．

Answer 1

【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．

【分析】①根据线段的垂直平分线的性质求出AD=BD，求出BD+DC+BC=BC+AC=8，即可得出答案；

②设∠A=a°，根据等腰三角形的性质求出∠A=∠ABD=a°，∠ABC=∠ACB=2a°，根据三角形内角和定理得出方程5a=180，求出后根据三角形的外角性质求出即可．

【解答】解：①∵DE是线段AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∵△BCD的周长为8，

∴BD+DC+BC=BC+AD+DC=BC+AC=8，

∵AB=AC=5，

∴BC=3；

②设∠A=a°，

∵AD=BD，

∴∠A=∠ABD=a°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=a°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=2a°，

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴5a=180，

∴a=36，

∴∠A=∠ABD=36°，

∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角性质，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是推出AB=AE=EC，AE=2DE，综合性比较强，难度适中．