题目内容
22、张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示：a=n 2-1，b=2n，c=n 2+1．
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．
| n | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| a | 22-1 | 32-1 | 42-1 | 52-1 | … |
| b | 4 | 6 | 8 | 10 | … |
| c | 22+1 | 32+1 | 42+1 | 52+1 | … |
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．
分析：（1）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n 2，加减1，即可得出答案；
（2）利用完全平方公式计算出a 2+b 2的值，以及c 2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．
（2）利用完全平方公式计算出a 2+b 2的值，以及c 2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．
解答：解：（1）由图表可以得出：
∵n=2时，a=22-1，b=4，c=22+1，
n=3时，a=32-1，b=2×3，c=32+1，
n=4时，a=42-1，b=2×4，c=42+1，
…
∴a=n 2-1，b=2n，c=n 2+1．
（2）a、b、c为边的三角形时：
∵a 2+b 2=（n 2-1）+4n 2=n 4+2n 2+1，
c 2=（n 2+1） 2=n 4+2n 2+1，
∴a 2+b 2=c 2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
∵n=2时，a=22-1，b=4，c=22+1，
n=3时，a=32-1，b=2×3，c=32+1，
n=4时，a=42-1，b=2×4，c=42+1，
…
∴a=n 2-1，b=2n，c=n 2+1．
（2）a、b、c为边的三角形时：
∵a 2+b 2=（n 2-1）+4n 2=n 4+2n 2+1，
c 2=（n 2+1） 2=n 4+2n 2+1，
∴a 2+b 2=c 2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
点评：此题主要考查了勾股定理逆定理与数字的变化规律等知识，利用图表之间的变化得出a、b、c与n之间的关系是解决问题的关键．
练习册系列答案
世纪百通期末金卷系列答案
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张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下表:
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n |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
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a |
22-1 |
32-1 |
42-1 |
52-1 |
… |
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b |
4 |
6 |
8 |
10 |
… |
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c |
22+1 |
32+1 |
42+1 |
52+1 |
… |
(1)请你分别观察a、b、c与n之间的关系,并用含自然数n (n>1)的代数式表示:
a = ______,b = ______,c = ______.
(2)猜想:以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形?并说明你的猜想.