Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞2），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD连接DA并延长交y轴于点E．

（1）在点C的运动过程中，△OBC和△ABD全等吗？请说明理由；

（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化请说明理由；

（3）探究当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）△OBC和△ABD全等，理由见解析，（2）不会发生变化，60°，（3）当点C的坐标为（6，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形

【解析】

（1）先根据等边三角形的性质得∠OBA＝∠CBD＝60°，OB＝BA，BC＝BD，则∠OBC＝∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD；

（2）由△AOB是等边三角形知∠BOA＝∠OAB＝60°，再由△OBC≌△ABD知∠BAD＝∠BOC＝60°，根据∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD可得结论；

（3）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得∠EAC＝120°，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA＝2，∠OEA＝30°，求得AC＝AE＝4，据此得到OC＝6，即可得出点C的位置．

（1）△OBC和△ABD全等，理由是：

∵△AOB，△CBD都是等边三角形，

∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC，

∴∠OBC＝∠ABD，

在△OBC和△ABD中，

∵，

∴△OBC≌△ABD（SAS）；

（2）点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：

∵△AOB是等边三角形，

∴∠BOA＝∠OAB＝60°，

∵△OBC≌△ABD，

∴∠BAD＝∠BOC＝60°，

∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°；

（3）∵△OBC≌△ABD，

∴∠BOC＝∠BAD＝60°，

又∵∠OAB＝60°，

∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，

∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，

∵点A的坐标为（2，0），

∴OA＝2，

在Rt△AOE中，∠OEA＝30°，

∴AE＝4，

∴AC＝AE＝4，

∴OC＝2+4＝6，

∴当点C的坐标为（6，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．