爱动脑筋的小明在学习了全等三角形和等腰三角形有关知识后作了如下探索:(1)已知.如图.△ABC中.∠BAC是锐角.AB=AC.高AD.BG 所在的直线相交于点H.且AG=BG.则AH和BC的关系是:AH=BC.AH平分BC,中的“∠BAC是锐角改为“∠BAC是钝角 .其他条件都不变.AH和BC的关系是否仍然成立?若成立.请在图2中用三角板和量角器画出完整� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．爱动脑筋的小明在学习了全等三角形和等腰三角形有关知识后作了如下探索：

（1）已知，如图，△ABC中，∠BAC是锐角，AB=AC，高AD、BG 所在的直线相交于点H，且AG=BG，则AH和BC的关系是：AH=BC，AH平分BC；
（2）若把（1）中的“∠BAC是锐角”改为“∠BAC是钝角”（如图2），其他条件都不变，AH和BC的关系是否仍然成立？若成立，请在图2中用三角板和量角器画出完整的图形并证明；若不成立，请说明理由．

分析（1）如图1，由AD与BG为两条高，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，AG=BG，利用ASA得到三角形AHG与三角形BCG全等，利用全等三角形的对应边相等得到AH=BC，由AB=AC，且AD垂直于BC，利用三线合一得到D为BC中点，即BC=2BD，等量代换即可得证；
（2）若将∠BAC改为钝角，其余条件不变，上述的结论还成立，理由为：如图2，由AD与BG为两条高，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，AG=BG，利用ASA得到三角形AHG与三角形BCG全等，利用全等三角形的对应边相等得到AH=BC，由AB=AC，且AD垂直于BC，利用三线合一得到D为BC中点，即BC=2BD，等量代换即可得证．

解答（1）证明：如图1，
∵AD⊥BC，BG⊥AC，
∴∠CAD+∠C=90°，∠CBG+∠C=90°，
∴∠CAD=∠CBG，即∠GAH=∠CBG，
在△AHG和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAH=∠CBG}\\{AG=BG}\\{∠AGH=∠BGC=90°}\end{array}\right.$，
∴△AHG≌△BCG（ASA），
∴AH=BC，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，即BC=2BD，
则AH=2BD；
故答案为：AH=BC，AH平分BC；

（2）解：若将∠BAC改为钝角，其余条件不变，上述的结论还成立，
证明：如图2，∵AD⊥BC，BG⊥AG，
∴∠CAD+∠C=90°，∠CBG+∠C=90°，
∴∠CAD=∠CBG，即∠GAH=∠CBG，
在△AHG和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAH=∠CBG}\\{AG=BG}\\{∠AGH=∠BGC=90°}\end{array}\right.$，
∴△AHG≌△BCG（ASA），
∴AH=BC，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，即BC=2BD，
则AH=2BD．