Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），求证：BM+DN=MN；
（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是

BM+DN=MN

；
（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．

Answer 1

分析：（1）延长CB到E，使BE=DN，连接AE，根据SAS证△ABE≌△ADN，推出AE=AN，∠DAN=∠BAE，求出∠NAM=∠MAE，根据SAS证出△NAM≌△EAM即可；
（2）证法与（1）类似，延长CB到E，使BE=DN，连接AE，根据SAS证△ABE≌△ADN，推出AE=AN，∠DAN=∠BAE，求出∠NAM=∠MAE，根据SAS证出△NAM≌△EAM即可；
（3）在CD上截取DE=BM，连接AE，根据SAS证△ADE≌△ABM，推出AE=AM，∠DAE=∠MAB，求出∠EAN=∠MAN，根据SAS证出△MAN≌△EAN即可．

解答：（1）证明：如图1，延长CB至E使得BE=DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE，
在△ADN和△ABE中
∵

AD=AB ∠D=∠ABE DN=BE

，
△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAM=∠MAN，
∵在△EAM和△NAM中

AE=AN ∠EAM=∠NAM AM=AM

，
∴△EAM≌△NAM，
∴MN=ME，
∵ME=BM+BE=BM+DN，
∴BM+DN=MN；

（2）解：线段BM，DN和MN之间数量关系是BM+DN=MN，理由如下：
延长CB至E，使得BE=DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE，
在△ADN和△ABE中，
∵

AD=AB ∠D=∠ABE DN=BE

，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAM=∠MAN，
∵在△EAM和△NAM中

AE=AN ∠EAM=∠NAM AM=AM

，
∴△EAM≌△NAM，
∴MN=ME，
∵ME=BM+BE=BM+DN，
∴BM+DN=MN，
故答案为：BM+DN=MN；

（3）DN-BM=MN，理由如下：
如图3，在DC上截取DE=BM，连接AE，
由（1）知△ADE≌△ABM（SAS），
∴∠DAE=∠BAM，AE=AM，
∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=∠MAN．
∵在△MAN和△EAN中，

AE=AM ∠MAN=∠EAN AN=AN

，
∴△MAN≌△EAN（SAS），
∴EN=MN，
即DN-DE=MN，
∴DN-BM=MN．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，此题比较典型，具有一定的代表性，且证明过程类似，同时通过做此题培养了学生的猜想能力和类比推理能力．