Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，折痕为，连接．已知点的坐标为，二次函数图象经过、、三点．

（1）求函数解析式；

（2）在轴下方抛物线上有一动点，过点作轴，交轴于点，连接，当与相似时，求点的坐标．

（3）在抛物线对称轴上是否存在一点，使有最大值？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，

【解析】

（1）由矩形的性质、折叠的性质和勾股定理求得B点和F点的坐标，用待定系数法即可求得函数解析式.

（2）设，则，，由勾股定理求得，即，设，当时，，当时，，分别代入数据计算即可.

（3）点C（0，-8），两点关于对称轴x=3对称，连接BF交直线x=3于点M，此时有最大值，设直线BF：y=kx+b，求得解析式，当x=3时，y=-14，此时

解：（1）∵四边形为矩形，点坐标为

∴，，，

∴

∴，即

将、、分别代入中，得：

解得

∴二次函数解析式为

（2）设，则，

由勾股定理得：，解得

∴

设

当时，，即

解得：（不合题意，舍去），

此时

当时，，即

解得：（不合题意，舍去），

此时

∴或

（3）存在

点C（0，-8），两点关于对称轴x=3对称，

如图，连接BF交直线x=3于点M，此时有最大值

设直线BF：y=kx+b

代入B、F两点坐标得

，解得

所以直线BF：y=2x-20，

当x=3时，y=-14，

故