Question

【题目】如图（），在四边形中，，，，，分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明≌，可得出结论，他的结论应该是__________．

如图（），若在四边形中，，，，分别是,上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）结论仍然成立，理由见解析.

【解析】

（1）根据小王同学探究此问题的方法，先证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，然后根据FG＝DG＋DF＝BE＋DF可得结论；

（2）延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，然后根据FG＝DG＋DF＝BE＋DF可得结论.

（1）如图1，延长到点，使，连接，

在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝60°，，

∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD∠EAF＝60°＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△AGF中，，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF＝FG，

∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，

∴EF＝BE＋DF；

故答案为：EF＝BE＋DF；

（2）结论EF＝BE＋DF仍然成立；

理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，

∵，，

∴，

在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△AGF中，，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF＝FG，

∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，

∴EF＝BE＋DF.