Question

如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R．

Answer 1

（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，

∵AM切⊙O于点A，

∴OA⊥AD，（1分）

又∵DO平分∠ADC，

∴OE=OA，（2分）

∵OA为⊙O的半径，

∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，（3分）

∴CD是⊙O的切线．（4分）

（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，

∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，

∴AB⊥AD，AB⊥BC，（5分）

∴四边形ABFD是矩形，

∴AD=BF，AB=DF，（6分）

又∵AD=4，BC=9，

∴FC=9﹣4=5，（7分）

∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，w   W  w . X k b 1.c O m

∴DA=DE，CB=CE，（8分）

∴DC=AD+BC=4+9=13，（9分）

在Rt△DFC中，DC²=DF²+FC²，

∴DF==12，

∴AB=12，（10分）

∴⊙O的半径R是6．