Question

【题目】（1）问题发现

如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D时线段AB上一动点，连接BE．

填空：①的值为　 　； ②∠DBE的度数为　 　．

（2）类比探究

如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．

Answer 1

【答案】（1）①1； ②90°；（2）＝，∠DBE＝90°，理由见解析；（3）BE的长为3+或3﹣

【解析】

（1）由直角三角形的性质可得∠ABC＝45°，可得∠DBE＝90°，通过证明△ACD∽△BCE，可得的值；

（2）通过证明△ACD∽△BCE，可得的值，∠CBE＝∠CAD＝60°，即可求∠DBE的度数；

（3）分点D在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证CM＝BM＝，即可求DE＝2，由相似三角形的性质可得∠ABE＝90°，BE＝AD，由勾股定理可求BE的长．

解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CAB＝45°，

∴∠ABC＝∠CAB＝45°，

∴AC＝BC，∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，且∠CAB＝∠CDE＝45°，

∴△ACD∽△BCE，

∴，

故答案为：1，90°；

（2），∠DBE＝90°；

理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°，

∴tan∠ABC＝tan30°＝＝，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，

∴Rt△ACB∽Rt△DCE，

∴，

∴，且∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD∽△BCE，

∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°，

∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°；

（3）若点D在线段AB上，如图，

由（2）知：＝，∠ABE＝90°，

∴BE＝AD，

∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°，

∴AB＝4，BC＝2，

∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，

∴CM＝BM＝DE，

且△CBM是直角三角形，

∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，

∴BM＝CM＝，

∴DE＝2，

∵DB2+BE2＝DE2，

∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24，

∴AD＝+1，

∴BE＝AD＝3+；

若点D在线段BA延长线上，如图，

同理可得：DE＝2，BE＝AD，

∵BD2+BE2＝DE2，

∴（4+AD）2+（AD）2＝24，

∴AD＝﹣1，

∴BE＝AD＝3﹣，

综上所述：BE的长为3+或3﹣.