Question

7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE=AC，
（1）求证：AD垂直平分CE；
（2）当∠ACB=2∠B时，求证：BE=CD．

Answer 1

分析 （1）通过给定条件可得知△AOE≌△AOC，由全等三角形的性质可得知边角关系，从而得以解决；
（2）由三角形全等可得相对应两边相等，再借用三角形外角等于不相邻的两个内角之和，可寻找到边的关系，从而问题得以解决．

解答 （1）证明：令AD与CE的交点为O，如图
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAO=∠CAO，
在△EAO和△CAO中，
有$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAO=∠CAO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△AOC（SAS），
∴∠AOE=∠AOC，EO=CO，
∴AD垂直平分CE．
证毕．
（2）在△AED和△ACE中，
有$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAO=∠CAO}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠ACD=∠AED，CD=ED，
又∵∠AED=∠B+∠EDB，且∠ACB=2∠B，∠ACD=∠ACB（同角），
∴∠EBD=∠EBD，
∴BE=ED=CD，
证毕．

点评 本题考查了全等三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练的利用全等三角形的性质来解决求等边等角的问题．