Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若CD＝2，AC＝4，BD＝6，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

(1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠3，根据直角三角形中角的大小关系得出OD⊥AD ，从而证明AD为圆O的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果

（1）证明：连接OD，

∵OB＝OD，

∴∠3＝∠B，

∵∠B＝∠1，

∴∠1＝∠3，

在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，

∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，

∴OD⊥AD，

则AD为圆O的切线；

（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，

∵OF⊥BD

∴DF＝BF＝BD＝3

∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°

∴AD＝＝2

∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90°

∴△BFO∽△ACD

∴=

即=

∴OB＝

∴⊙O的半径为．