Question

2．如图，在RT△ABC中，AC=BC，将△ABC绕点C顺时针旋转45°后得到△DEC，AB与DE相交于点F．
（1）试判断DE与AC的位置关系并证明；
（2）试探究四边形ACEF是什么特殊的四边形，并证明你的结论；
（3）若AC=1，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）由题意可知∠D=∠DCA=45°，从而可证明AD∥AC；
（2）由∠B=∠BCE=45°，从而可证明AB∥CE，从而可知四边形AFEC为平行四边形，然后由AC=CE，从而四边形ACEF是菱形；
（3）由菱形的性质可知AF=AC=1，然后由勾股定理可求得AB=$\sqrt{2}$，从而可求得BF的长．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°．
由旋转的性质可知：∠ACD=∠BCE=45°，∠D=∠A=45°．
∴∠D=∠DCA=45°．
∴DE∥AC．
（2）∵∠B=45°，∠BCE=45°，
∴∠B=∠BCE．
∴AB∥CE．
由（1）可知：DE∥AC，
∴四边形ACEF是平行四边形．
又∵AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形．
（3）∵四边形ACEF是菱形，
∴AF=AC=1．
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴BF=AB-AF=$\sqrt{2}-1$．

点评 本题主要考查的是菱形的性质和判定、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理的应用，证得四边形ACEF是菱形是解题的关键．