题目内容

5．定义：长宽比为$\sqrt{n}$：1（n为正整数）的矩形称为$\sqrt{n}$矩形，下面，我们通过折叠的方式折出一个$\sqrt{2}$矩形，如图①所示．
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF，则四边形BCEF为$\sqrt{2}$矩形．
证明：设正方形ABCD的边长为1．
则BD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．
∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD．∴$\frac{BG}{BD}$=$\frac{BF}{AB}$，即$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{BF}{1}$，∴BF=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
∴BC：BF=1：$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}：1$．∴四边形BCEF为$\sqrt{2}$矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
（1）在图①中，所有与CH相等的线段是GH，DG，tan∠HBC的值是$\sqrt{2}$-1；
（2）已知四边形BCEF为$\sqrt{2}$矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②．求证：四边形BCMN是$\sqrt{3}$矩形；
（3）将图②中$\sqrt{3}$矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“$\sqrt{n}$矩形”．求n的值．

分析 （1）由折叠即可得到DG=GH=CH，设HC=x，则有DG=GH=x，DH=$\sqrt{2}$x，根据DC=DH+CH=1，就可求出HC，然后运用三角函数的定义即可求出tan∠HBC的值；
（2）只需借鉴阅读中证明“四边形BCEF为$\sqrt{2}$矩形”的方法就可解决问题；
（3）同（2）中的证明可得：将$\sqrt{3}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“$\sqrt{4}$矩形”，将$\sqrt{4}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“$\sqrt{5}$矩形”，将$\sqrt{5}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“$\sqrt{6}$矩形”，由此就可得到n的值．

解答 解：（1）由折叠可得：
DG=HG，GH=CH，
∴DG=GH=CH．
设HC=x，则DG=GH=x．
∵∠DGH=90°，
∴DH=$\sqrt{2}$x，
∴DC=DH+CH=$\sqrt{2}$x+x=1，
解得x=$\sqrt{2}$-1，
∴tan∠HBC=$\frac{HC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{1}$=$\sqrt{2}$-1，
故答案为：GH、DG，$\sqrt{2}$-1；

（2）∵BC=1，EC=BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BE=$\sqrt{E{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由折叠可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．
∵四边形BCEF是矩形，
∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，
∴四边形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，
∴MN∥EF，
∴$\frac{BP}{BE}$=$\frac{BN}{BF}$，即BP•BF=BE•BN，
∴1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$BN，
∴BN=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴BC：BN=1：$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$：1，
∴四边形BCMN是$\sqrt{3}$的矩形；

（3）同理可得：
将$\sqrt{3}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“$\sqrt{4}$矩形”，
将$\sqrt{4}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“$\sqrt{5}$矩形”，
将$\sqrt{5}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“$\sqrt{6}$矩形”，
所以将图②中的$\sqrt{3}$矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“$\sqrt{6}$矩形”，

点评 本题主要考查了轴对称的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理等知识，考查了阅读理解能力、操作能力、归纳探究能力、推理能力，运用已有经验解决问题的能力，是一道好题．

练习册系列答案
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