Question

如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立。
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G。
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=时，求线段BG的长。

Answer 1

解（1）BD=CF成立，理由： ∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形， ∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°， ∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC， ∴∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD=CF； （2）①证明：设BG交AC于点M， ∵△BAD≌△CAF（已证）， ∴∠ABM=∠GCM， ∵∠BMA=∠CMG， ∴△BMA∽△CMG， ∴∠BGC=∠BAC=90°， ∴BD⊥CF， ②过点F作FN⊥AC于点N， ∵在正方形ADEF中，AD=DE=， ∴AE==2， ∴AN=FN=AE=1， ∵在等腰直角△ABC 中，AB=4， ∴CN=AC﹣AN=3，BC==4， ∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==， ∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=． ∴AM=AB=， ∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM==， ∵△BMA∽△CMG， ∴， ∴， ∴CG=， ∴在Rt△BGC中，BG==。