Question

（2013•海宁市模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4．△A₁B₁C₁、△A₂B₂C₂、△A₃B₃C₃、…、△A_nB_nC_n是n个相同的等腰直角三角形，其直角顶点C₁、C₂、C₃、…、C_n都在CB边上，点A₁在AC上，A₂C₂经过点B₁且平行于A₁C₁，A₃C₃经过点B₂且平行于A₂C₂，…，A_nC_n过点B_n-1且平行于A_n-1C_n-1，点B_n落在AB边，且A₁C=2CC₁．
（1）如图1，当n=1时，求等腰直角三角形的直角边长a₁；
（2）如图2，当n=2时，求等腰直角三角形的直角边长a₂；
（3）如图3，求等腰直角三角形的直角边长a_n（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）作B₁D⊥BC于D．首先设CC₁=x，然后表示出A₁C=2x，A₁C₁=

5

x，结合已知线段利用两组对应边的比相等且夹角相等证得△ABC∽△C₁CA₁，利用相似三角形的性质得到∠CA₁C₁=∠B，从而证得C₁CA₁≌△B₁C₁D，然后根据CC₁+C₁B=BC列出方程x+4x=4后求解x值即可得到a₁=A₁C₁=

5

x=

4 5

5

；
（2）作B₂D⊥BC于D．与第（1）题类似得到C₁CA₁∽△C₂C₁B₁，利用相似三角形的对应边的比相等得到C₁C₂=

5

2

x，从而根据CC₁+C₁C₂+C₂D=BC得到方程x+

5

2

x+4x=4求得x=

8

15

后即可得到a₂=A₁C₁=

5

x=

8 5

15

；
（3）作B_nD⊥BC于D．由第（1）、（2）两小题可知BC_n=4x，从而得到C₁C₂=C₂C₃=…=C_n-1C_n=

5

2

x，利用CC₁+C₁C₂+C₂C₃+…+C_nD=BC得到方程x+

5

2

x（n-1）+4x=4求解x=

8

5n+5

后即可得到a_n=A₁C₁=

5

x=

8 5

5n+5

．

解答：解：（1）如答图1，作B₁D⊥BC于D．
设CC₁=x，则A₁C=2x，A₁C₁=

5

x．
∵AC=2，BC=4，
∴

AC

BC

=

CC1

A1C

∵∠ACB=∠C₁CA₁=90°，
∴△ABC∽△C₁CA₁，
∴∠CA₁C₁=∠B．
∵∠CA₁C₁=90°-∠A₁C₁C=∠B₁C₁D，
∠C=∠B₁DC₁=90°，A₁C₁=C₁B₁，
∴△C₁CA₁≌△B₁C₁D，
∴C₁D=A₁C=2x，∠CA₁C₁=∠B₁C₁D=∠B，
∴BD=C₁D=2x，BC₁=4x．
∵CC₁+C₁B=BC，
∴x+4x=4，
解得：x=

4

5

，
∴a₁=A₁C₁=

5

x=

4 5

5

．

（2）如答图2，作B₂D⊥BC于D．
设CC₁=x，则A₁C=2x，A₁C₁=B₁C₁=A₂C₂=B₂C₂=

5

x，
由第（1）题可知BC₂=C₂D+BD=4x．
∵A₁C₁∥A₂C₂，
∴∠A₁C₁C=∠B₁C₂C₁．
∵∠C=∠C₁B₁C₂=90°，
∴△C₁CA₁∽△C₂C₁B₁．
∴

C1B1

C1C2

=

A1C

A1C1

，
∴C₁C₂=

5

2

x．
∵CC₁+C₁C₂+C₂D=BC，
∴x+

5

2

x+4x=4，
∴x=

8

15

，
∴a₂=A₁C₁=

5

x=

8 5

15

．

（3）如答图3，作B_nD⊥BC于D．
由第（1）、（2）两小题可知BC_n=4x，
C₁C₂=C₂C₃=…=C_n-1C_n=

5

2

x．
∵CC₁+C₁C₂+C₂C₃+…+C_nD=BC，
∴x+

5

2

x（n-1）+4x=4，
∴x=

8

5n+5

，
∴a_n=A₁C₁=

5

x=

8 5

5n+5

．

点评：本题考查了相似三角形的综合知识，解题的关键是了解这种一题多变的解法：虽然题目发生了变化，但其基本解法类似，且有类似的辅助线的作法．