Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AH是高，BD平分∠ABC交AH于E，DF⊥BC于F，试说明四边形AEFD是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定

专题：证明题

分析：首先根据垂直证明AH∥DF，再证明∠1=∠2，根据等角对等边可得AE=AD，根据角平分线的性质可得AD=DF，从而得到DF平行且等于AE，进而可得四边形CDEF是平行四边形，再由AE=AD可证明四边形CDEF是菱形．

解答： 解：∵AH⊥BC，DF⊥CB，
∴AH∥DF，∠4+∠5=90°．
∵∠ACB=90度．
∴∠2+∠3=90°．
又∵BD平分∠ABC，
∴∠3=∠4，AD=DF．
又∵∠4+∠5=90°，
∴∠2=∠5．
而∠1=∠5，
∴∠1=∠2．
∴AE=AD．
∴AE=DF，
∴DF平行且等于AE．
∴四边形CDEF是平行四边形．
又∵AE=AD，
∴四边形CDEF是菱形．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，角平分线性质等知识点的应用，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形