Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，AD为弦，OC∥AD．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若OA=2，求AD•OC的值．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB=OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∵OC∥AD，
∴∠A=∠COB，∠ODA=∠COD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠COD=∠COB，
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥CD，
∴DC是⊙O的切线；

（2）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠OBC=90°，
∵∠BOC=∠A，
∴△BAD∽△COB，
∴，
∴AD•CO=BA•OB，
∵OA=2，
∴BA=2OA=4，OB=2，
∴AD•CO=BA•OB=8．
分析：（1）首先连接OD，由OC∥AD，易证得△COD≌△COB，又由BC是⊙O的切线，易证得OD⊥CD，即可得DC是⊙O的切线；
（2）易得△BAD∽△COB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD•OC的值．
点评：此题考查了切线的性质与判定、相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．