题目内容

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB₁∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB₁于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
①当t＞ $数学公式$ 时，连接C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②当线段A′C′与射线BB′，有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）．

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= $\text{[math]}$ =5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；
∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6-5=1．

（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，
∴GE=2．
当AD＜AE（即t＜ $\text{[math]}$ ）时，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，
若△DEG与△ACB相似，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∴t= $\text{[math]}$ 或t= $\text{[math]}$ ；
当AD＞AE（即t＞ $\text{[math]}$ ）时，DE=AD-AE=5t-（3+3t）=2t-3，
若△DEG与△ACB相似，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ 或t= $\text{[math]}$ ；
综上所述，当t= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，△DEG与△ACB相似．

（3）①由轴对称的性质变换得：AA′⊥DH，CC′⊥DH，则AA′∥CC′；
易知OC≠AH，故AA′≠CC′，
∴四边形ACC′A′是梯形；
∵∠A=∠A，∠AHD=∠ACB=90°，
∴△AHD∽△ACB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AH=3t，DH=4t．

∵sin∠ADH=sin∠CDO，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴CO=3t- $\text{[math]}$ ．
∴AA′=2AH=6t，CC′=2CO=6t- $\text{[math]}$ ．
∵OD=CD•cos∠CDO=（5t-3）× $\text{[math]}$ =4t- $\text{[math]}$ ，
∴OH=DH-OD= $\text{[math]}$ ．
∴S= $\text{[math]}$ （AA′+CC′）•OH= $\text{[math]}$ （6t+6t- $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ≤t≤ $\text{[math]}$ ；
当A′落在射线BB′上时（如图甲），AA′=AB=5，
∴6t=5，∴t= $\text{[math]}$ ；
当点C′落在射线BB′上时（如图乙），易CC′∥AB；
故四边形ACC′B为平行四边形，

∴CC′=AB=5，
∴6t- $\text{[math]}$ =5，t= $\text{[math]}$ ．
故 $\text{[math]}$ ≤t≤ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的长，即可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE=AE-AD即可得解．
（2）若△DEG与△ACB相似，要分两种情况：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根据这些比例线段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表达式时，要分AD＞AE和AD＜AE两种情况）
（3）①根据轴对称的性质知：DH分别垂直平分AA′、CC′，则AA′∥CC′，显然AA′≠CC′，因此四边形ACC′A′是梯形；首先用t表示出AD，易证得△ACB∽△AHD，根据得到的比例线段可求得AH、DH的表达式，在Rt△COD中，通过解直角三角形，可求得OD、OC的长，进而可求得梯形的高OH的值，而梯形的上下底分别是AH、OC的2倍，可根据梯形的面积公式求得S、t的函数关系式；
②此题只需考虑两种情况即可：
一、A′落在BB′上时，此时A′、B重合，AA′=AB=5，根据①所得AA′的表达式即可求得t的值；
二、C′落在BB′上时，在①已证得AB∥CC′，那么四边形ACC′B为平行四边形，即AB=CC′，根据①所得CC′的表达式即可求得t的值；
综合上面两种情况所得的t值，即可求得t的取值范围．
点评：此题考查了勾股定理、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形等相关知识，综合性强，是一道难度较大的压轴题．