Question

（2007•海南）如图，直线y=-x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B（-1，0）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；
（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒个单位长度的速度沿折线OAC按O?A?C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O?C?A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动．设D、E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S．
①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
③设S是②中函数S的最大值，那么S=______．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据直线AC的解析式求出A、C两点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）根据抛物线的解析式可求出M点的坐标，由于四边形OAMC不是规则的四边形，因此可过M作x轴的垂线，将四边形OAMC分成一个直角三角形和一个直角梯形来求解．
（3）①如果DE∥OC，此时点D，E应分别在线段OA，CA上，先求出这个区间t的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围．如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这样的t．
②本题要分三种情况进行讨论：
当E在OC上，D在OA上，即当0＜t≤1时，此时S=OE•OD，由此可得出关于S，t的函数关系式；
当E在CA上，D在OA上，即当1＜t≤2时，此时S=OD×E点的纵坐标．由此可得出关于S，t的函数关系式；
当E，D都在CA上时，即当2＜t＜相遇时用的时间，此时S=S_△AOE-S_△AOD，由此可得出S，t的函数关系式；
综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式．
③根据②的函数即可得出S的最大值．
解答：解：（1）令y=0，则x=3，
∴A（3，0），C（0，4），
∵二次函数的图象过点C（0，4），
∴可设二次函数的关系式为y=ax²+bx+4．
又∵该函数图象过点A（3，0），B（-1，0），
∴，
解得a=-，b=．
∴所求二次函数的关系式为y=-x²+x+4．

（2）∵y=-x²+x+4
=-（x-1）²+
∴顶点M的坐标为（1，）
过点M作MF⊥x轴于F
∴S_{四边形AOCM}=S_△AFM+S_梯形FOCM
=×（3-1）×+×（4+）×1
=10
∴四边形AOCM的面积为10．

（3）①不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时1＜t＜2，在Rt△AOC中，AC=5．
设点E的坐标为（x₁，y₁）
∴=，
∴
∵DE∥OC，
∴
∴
∵t=＞2，不满足1＜t＜2．
∴不存在DE∥OC．
②根据题意得D，E两点相遇的时间为（秒）
现分情况讨论如下：
（ⅰ）当0＜t≤1时，S=×t•4t=3t²；
（ⅱ）当1＜t≤2时，设点E的坐标为（x₂，y₂）
∴，
∴
∴S=×t×=-t²+t；
（ⅲ）当2＜t＜时，
设点E的坐标为（x₃，y₃），类似ⅱ可得
设点D的坐标为（x₄，y₄）
∴，
∴
∴S=S_△AOE-S_△AOD
=×3×-×3×
=-t+．
③当0＜t≤1时，S=×t•4t=3t²，函数的最大值是3；
当1＜t≤2时，S=-t²+t．函数的最大值是：，
当2＜t＜时，S=-t+，0＜S＜．
∴S=．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的应用等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．