Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴正半轴上，边CO在y轴的正半轴上，且AB=2，∠AOB=30°，将矩形ABOC绕点O逆时针旋转后得到矩形EFOD，且点A落在y轴上的E点，点B，C的对应点分别是点F，D．
（1）求F，E，D的三点坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c经过点F，E，D，求此抛物线的解析式；
（3）在x上方的抛物线上求点P的坐标，使得三角形POB的面积等于矩形ABOC的面积．

Answer 1

解：（1）如图1，过点D作DM⊥x轴，过点F作FN⊥x轴，
∵AB=2，∠AOB=30°，
∴AO=2AB=4，OB=AB•cot30°=2，
由旋转不变性可得，EO=AO=4，OD=AB=2，OF=OB，
所以E的坐标为（0，4），
∵∠AOB=30°，
∴∠AOC=90°-∠AOB=90°-30°=60°，
∴∠DOE=∠AOC=60°，
∴∠DOM=90°-∠DOE=90°-60°=30°，
在Rt△DOM中，DM=OD=×2=1，OM=OD•cos∠DOM=2×cos30°=，
所以点D的坐标为（-，1），
由图可知，旋转角为60°，所以∠FON=60°，
所以，ON=OF•cos60°=2×=，
FN=OF•sin60°=2×=3，
所以F的坐标为（，3）；

（2）由题意得：，
解得，
所以，抛物线的解析式为y=-x²+x+4；

（3）如图2，因为△POB与矩形ABOC有公共的底边OB，
且面积相等，所以y_p=2y_c=4，
由-x²+x+4=4，
整理得，2x²-x=0，
解得x₁=0或x₂=，
所以P的坐标是（0，4）或（，4）．
分析：（1）根据解直角三角形求出AO、BO的长度，根据旋转变换的性质可得OE、OD、OF的长度，根据OE的长度可得点E的坐标，根据OD的长度，过点D作DM⊥x轴于点M，利用解直角三角形求出OM、DM的长度，然后得到点D的坐标，再根据OF的长度，过点F作FN⊥x轴于点N，利用解直角三角形求出ON、FN的长度，从而得到点F的坐标；
（2）根据点F、E、D的坐标，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）根据OB是公共底边且面积相等，可得点P的纵坐标是4，然后代入二次函数解析求解即可．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要有矩形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，旋转变换的性质，解直角三角形，待定系数法求二次函数解析式，要注意旋转变换前后线段的不变以及角度的不变性．