题目内容
如图，AB是⊙O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合）．点Q在上半圆上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．（1）当∠QPA=90°时，判断△QCP是______三角形；
（2）当∠QPA=60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；
（3）由（1）、（2）得出的结论，进一步猜想，若∠PCQ=30°，求∠QPC的度数，此时点P运动到线段AM上哪一特殊位置？
【答案】分析：（1）利用切线的性质得出∠OQC=90°，进而利用∠QPA=90°，PQ=PO，得出∠OCQ=45°，进而得出△QCP是等腰直角三角形；
（2）利用等腰三角形的性质以及切线的性质得出∠PQC=60°，即可得出答案；
（3）利用切线的性质以及外角的性质得出△OPQ为等边三角形，进而得出∠QPC的度数，以及点P的位置．
解答：
解：（1）如图1，连接OQ，
∵过点Q作⊙O的切线，
∴∠OQC=90°，
∵∠QPA=90°，PQ=PO，
∴∠QOP=45°，
∴∠OCQ=45°，
∴△QCP是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角；
（2）等边三角形，
理由：如图2，连接QO，
∵PQ=PO，∴∠QOP=∠OQP，
∵∠QPA=60°，
∴∠OQP=
∠QPA=30°，
∵QC为切线，∴∠OQC=90°，
∴∠PQC=60°，
∴△QCP为等边三角形．
（3）∵QC为圆的切线，
∴∠OQC=90°，
∵∠PCQ=30°，∴∠QOC=60°，
∴△OPQ为等边三角形，
∴∠OPQ=60°，OP=OQ，
∴∠QPC=120°，此时点P在圆上与点A重合．
点评：此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质和等边三角形的判定等知识，熟练应用切线的性质得出是解题关键．
（2）利用等腰三角形的性质以及切线的性质得出∠PQC=60°，即可得出答案；
（3）利用切线的性质以及外角的性质得出△OPQ为等边三角形，进而得出∠QPC的度数，以及点P的位置．
解答：
解：（1）如图1，连接OQ，∵过点Q作⊙O的切线，
∴∠OQC=90°，
∵∠QPA=90°，PQ=PO，
∴∠QOP=45°，
∴∠OCQ=45°，
∴△QCP是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角；
（2）等边三角形，
理由：如图2，连接QO，
∵PQ=PO，∴∠QOP=∠OQP，
∵∠QPA=60°，
∴∠OQP=
∠QPA=30°，∵QC为切线，∴∠OQC=90°，
∴∠PQC=60°，
∴△QCP为等边三角形．
（3）∵QC为圆的切线，
∴∠OQC=90°，
∵∠PCQ=30°，∴∠QOC=60°，
∴△OPQ为等边三角形，
∴∠OPQ=60°，OP=OQ，
∴∠QPC=120°，此时点P在圆上与点A重合．
点评：此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质和等边三角形的判定等知识，熟练应用切线的性质得出是解题关键．
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