题目内容
如图所示，边长为2的正方形OABC如图放置在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，且12a+5c=0．（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P由点A开始沿AB边以每秒2个单位的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以每秒1个单位的速度向点C移动，设移动时间为t秒．当线段PQ的长取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形为平行四边形？如存在，求出点R的坐标；如不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，P、Q点在运动过程中，抛物线上是否还存在其它点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形为平行四边形？如存在，求出点R的坐标；如不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据正方形的边长可得A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，联立12a+5c=0，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）首先用t表示出PB、BQ的长，利用勾股定理可求得PQ2的表达式，根据所得函数的性质即可得到PQ2的最小值（即PQ的最小值）及对应的t值，进而可得到P、Q的坐标，然后分两种情况考虑：
①PR与BQ平行且相等，那么将P点坐标向上或向下平移BQ个单位，即可得到R的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；
②QR与BP平行且相等，那么将Q点坐标向左或向右平移BP个单位即可得到R点坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可．
（3）此题的解法同（2），将P、Q的坐标用t表示，然后按（2）题的两种情况得到各自的R点坐标，然后再代入抛物线中进行验证即可．
解答：
解：（1）由题A（0，-2），B（2，-2）；
∴
∴
∴
．（4分）
（2）由题AP=2t，BQ=t；
∴BP=2-2t，
Rt△PBQ中，
PQ2=PB2+BQ2=（2-2t）2+t2
=5t2-8t+4
=5
；
当t=
时，PQ2取得最小值，
则PQ最小，此时
；
假设符合条件的点R存在，
①过P作PR∥BQ，PR=BQ；
此时R（
）或
，
将其代入抛物线解析式，
知这两个点R均不在抛物线上；
②过Q作QR∥BP，QR=BP，
此时R（
）或
将其代入抛物线解析式，
知点（
）在抛物线上，点
不在抛物线上，
综上所述，存在符合条件的点R（
）．（8分）
（3）易知：P（2t，-2），Q（2，t-2），
由于点R在抛物线上，
∴若存在以P，B，Q，R为顶点的平行四边形，只能有两种情况，
①平行四边形PRBQ此时PR∥BQ，PR=BQ；
∴R（2t，-2-t），
将其代入抛物线解析式得：
，
10t2-7t=-0，
；
此时
；
②PQRB，此时QR∥PB，QR=PB；
∴R（4-2t，t-2），
将其代入抛物线解析式，
；
10t2-33t+20=0，
∴t1=2.5（舍去），t2=0.8，
此时R（
）；
综上所述，除（2）中的点R外，还存在点R
．（12分）
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、函数图象上点的坐标意义等知识，在涉及到动点问题时，一定要注意分类讨论思想的应用，以免漏解．
（2）首先用t表示出PB、BQ的长，利用勾股定理可求得PQ2的表达式，根据所得函数的性质即可得到PQ2的最小值（即PQ的最小值）及对应的t值，进而可得到P、Q的坐标，然后分两种情况考虑：
①PR与BQ平行且相等，那么将P点坐标向上或向下平移BQ个单位，即可得到R的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；
②QR与BP平行且相等，那么将Q点坐标向左或向右平移BP个单位即可得到R点坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可．
（3）此题的解法同（2），将P、Q的坐标用t表示，然后按（2）题的两种情况得到各自的R点坐标，然后再代入抛物线中进行验证即可．
解答：
解：（1）由题A（0，-2），B（2，-2）；∴
∴
∴
．（4分）（2）由题AP=2t，BQ=t；
∴BP=2-2t，
Rt△PBQ中，
PQ2=PB2+BQ2=（2-2t）2+t2
=5t2-8t+4
=5
；当t=
时，PQ2取得最小值，则PQ最小，此时
；假设符合条件的点R存在，
①过P作PR∥BQ，PR=BQ；
此时R（
）或
，将其代入抛物线解析式，
知这两个点R均不在抛物线上；
②过Q作QR∥BP，QR=BP，
此时R（
）或
将其代入抛物线解析式，知点（
）在抛物线上，点
不在抛物线上，综上所述，存在符合条件的点R（
）．（8分）（3）易知：P（2t，-2），Q（2，t-2），
由于点R在抛物线上，
∴若存在以P，B，Q，R为顶点的平行四边形，只能有两种情况，
①平行四边形PRBQ此时PR∥BQ，PR=BQ；
∴R（2t，-2-t），
将其代入抛物线解析式得：
，10t2-7t=-0，
；此时
；②PQRB，此时QR∥PB，QR=PB；
∴R（4-2t，t-2），
将其代入抛物线解析式，
；10t2-33t+20=0，
∴t1=2.5（舍去），t2=0.8，
此时R（
）；综上所述，除（2）中的点R外，还存在点R
．（12分）点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、函数图象上点的坐标意义等知识，在涉及到动点问题时，一定要注意分类讨论思想的应用，以免漏解．
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