Question

6．如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=5cm，点P从点A开始以1cm/s的速度向点D运动，设点P运动的时间为t（s），阴影部分的面积为S（cm²）．
（1）求阴影部分的面积S关于t的函数表达式以及自变量t的取值范围；
（2）当△BCP为等腰三角形时，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由S_△BCP=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD不变，根据点P从点A开始以1cm/s的速度向点D运动，设点P运动的时间为t，得到AP=t，则PD=5-t，根据S=S_△BCP+S_△CDP=$\frac{1}{2}×4×5$+$\frac{1}{2}$（5-t）×4，即可得到结论；
（2）当△BCP为等腰三角形时：①PB=PC，P为AD的中点，求得t=$\frac{5}{2}$，得到S=15；②CB=CP，在Rt△CDP中，PD=$\sqrt{P{C}^{2}-C{D}^{2}}$=4，求得t=AP=1，得到S=18；③BP=BC时，在Rt△ABP中，AP=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}$=4，求得t=4，得到S=12．

解答 解：（1）∵S_△BCP=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD不变的，
∵点P从点A开始以1cm/s的速度向点D运动，设点P运动的时间为t，
∴AP=t，则PD=5-t，
∴S=S_△BCP+S_△CDP=$\frac{1}{2}×4×5$+$\frac{1}{2}$（5-t）×4，
∴阴影部分的面积S关于t的函数表达式为：S=-2t+20（0≤t≤5）；

（2）当△BCP为等腰三角形时：
①PB=PC，P为AD的中点，t=$\frac{5}{2}$cm，
∴S=15cm²；
②CB=CP，在Rt△CDP中，PD=$\sqrt{P{C}^{2}-C{D}^{2}}$=3cm，
∴t=AP=AD-PD=5-3=2cm，
∴S=-4+20=16cm²；
③BP=BC时，在Rt△ABP中，
AP=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}$=3cm，
∴t=3cm，S=-6+20=14cm²．
综上所述：当△BCP为等腰三角形时，阴影部分的面积为：15，16，14．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，求图形的面积，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．