题目内容
16．
已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC，BD交于点O，设△AOD，△AOB，△BOC，△COD的面积分别为S1，S2，S3，S4．（1）求证：S2=S4；
（2）设AD=m，BC=n，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{m}{n}$，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}$=$\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}$，根据上述条件，判断S1+S3与S2+S4的大小关系，并说明理由．
分析 （1）过A、D分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据同底等高的两个三角形面积相等得到S△ABC=S△DBC，证明结论；
（2）根据题意用S1分别表示S2、S3，利用求差法和非负数的性质进行判断即可．
解答 证明：（1）过A、D分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，
∴AE=DF，
∴S△ABC=S△DBC，
∴S△ABC-S△OBC=S△DBC-S△OBC，即S△ABO=S△DCO，
∴S2=S4；
（2）∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{m}{n}$，
∴S2=$\frac{n}{m}$S1，
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}$=$\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}$，
∴S3=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$S1，
∴S3+S1=$\frac{{n}^{2}+{m}^{2}}{{m}^{2}}$S1，
∵S2=S4，
∴S2+S4=$\frac{2n}{m}$S1，
∴（S1+S3）-（S2+S4）=$\frac{{n}^{2}+{m}^{2}}{{m}^{2}}$S1-$\frac{2n}{m}$S1=$\frac{（m-n）^{2}}{{m}^{2}}$S1，
当m=n时，$\frac{（m-n）^{2}}{{m}^{2}}$=0，
S1+S3=S2+S4，
当m≠n时，$\frac{（m-n）^{2}}{{m}^{2}}$＞0，
（S1+S3）-（S2+S4）＞0，
（S1+S3）＞（S2+S4）．
点评 本题考查的是面积及等积变换，掌握等底等高的两个三角形面积相等、相似三角形的面积比等于相似比的平方以及等量代换是解题的关键．
练习册系列答案
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4．下列几何图形是立体图形的是（ ）
| A． | 扇形 | B． | 长方形 | C． | 正方体 | D． | 圆 |