Question

20．如图，在平面直角坐标系的第一象限中，有一点A（1，2），AB∥x轴且AB=6，点C在线段AB的垂直平分线上，且AC=5，将抛物线y=ax²（a＞0）的对称轴右侧的图象记作G．
（1）若G经过C点，求抛物线的解析式；
（2）若G与△ABC有交点．
①求a的取值范围；
②当0＜y≤8时，双曲线y=$\frac{k}{x}$经过G上一点，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作CH⊥AB于H．求出点C坐标即可解决问题；
（2）①当抛物线经过点A时，a=2，当抛物线经过点B时，2=49a，可得a=$\frac{2}{49}$，由此即可解决问题；
②由题意当a=$\frac{2}{49}$时，y=$\frac{2}{49}$x²，当y=8时，8=$\frac{2}{49}$x²，因为x＞0，推出x=14，由题意当反比例函数y=$\frac{k}{x}$经过点（14，8）时k的值最大；

解答 解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．

∵CA=CB=5，CH⊥AB，
∴AH=HB=3，
在Rt△ACH中，CH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴C（4，6），
∵抛物线y=ax²（a＞0）经过C点，
∴6=16a，
∴a=$\frac{3}{8}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{3}{8}$x²．

（2）①∵A（1，2），B（7，2），
当抛物线经过点A时，a=2，
当抛物线经过点B时，2=49a，
∴a=$\frac{2}{49}$，
∵若G与△ABC有交点，
∴$\frac{2}{49}$≤a≤2．

②由题意当a=$\frac{2}{49}$时，y=$\frac{2}{49}$x²，
当y=8时，8=$\frac{2}{49}$x²，
∴x＞0，
∴x=14，
∴当反比例函数y=$\frac{k}{x}$经过点（14，8）时k的值最大，此时k=112，
∴k的最大值为112．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．