Question

如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．

（1）使∠APB=30°的点P有　 　个；

（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；

（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．

Answer 1

    解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，

以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P₁、P₂．

在优弧AP₁B上任取一点P，如图1，

则∠APB=∠ACB=×60°=30°．

∴使∠APB=30°的点P有无数个．

故答案为：无数．

（2）①当点P在y轴的正半轴上时，

过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．

∵点A（1，0），点B（5，0），

∴OA=1，OB=5．

∴AB=4．

∵点C为圆心，CG⊥AB，

∴AG=BG=AB=2．

∴OG=OA+AG=3．

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC=AB=4．

∴CG=

=

=2．

∴点C的坐标为（3，2）．

过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP₂，如图1，

∵点C的坐标为（3，2），

∴CD=3，OD=2．

∵P₁、P₂是⊙C与y轴的交点，

∴∠AP₁B=∠AP₂B=30°．

∵CP₂=CA=4，CD=3，

∴DP₂==．

∵点C为圆心，CD⊥P₁P₂，

∴P₁D=P₂D=．

∴P₂（0，2﹣）．P₁（0，2+）．

②当点P在y轴的负半轴上时，

同理可得：P₃（0，﹣2﹣）．P₄（0，﹣2+）．

综上所述：满足条件的点P的坐标有：

（0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2+）．

（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．

①当点P在y轴的正半轴上时，

连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．

∵⊙E与y轴相切于点P，

∴PE⊥OP．

∵EH⊥AB，OP⊥OH，

∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．

∴四边形OPEH是矩形．

∴OP=EH，PE=OH=3．

∴EA=3．

∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，

∴EH=

=

=

∴OP=

∴P（0，）．

②当点P在y轴的负半轴上时，

同理可得：P（0，﹣）．

理由：

①若点P在y轴的正半轴上，

在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），

连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．

∵∠ANB是△AMN的外角，

∴∠ANB＞∠AMB．

∵∠APB=∠ANB，

∴∠APB＞∠AMB．

②若点P在y轴的负半轴上，

同理可证得：∠APB＞∠AMB．

综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，

此时点P的坐标为（0，）和（0，﹣）．