Question

【题目】如图，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点C的坐标为（﹣5，4），点D在y轴的正半轴上，经过点A的直线y＝x﹣1与y轴交于点E，将直线AE沿y轴向上平移n（n＞0）个单位长度后，得到直线l，直线l经过点C时停止平移．

（1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；

（2）若直线l交y轴于点F，连接CF，设△CDF的面积为S（这里规定：线段是面积为0的三角形），求S与n之间的函数关系式，并写出n的取值范围；

（3）易知AE⊥AD于点A,若直线l交折线AD﹣DC于点P，当△AEP为直角三角形时，请直接写出n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）A（2，0），B（-3，0）；（2）当0≤n≤5时，S=10-2n；当5＜n≤时，S=2n-10；（3）n=或0≤n≤5．

【解析】

（1）令y=0，则x-1=0，求A（2，0），由平行四边形的性质可知AB=5，则B（-3，0）；

（2）易求E（0，-1），当l到达C点时的解析式为y=x+，当0≤n≤5时，S=×4×（5-n）=10-2n；当5＜n≤时，S=×4×（n-5）=2n-10；

（3）由点可以得到AD⊥AE；当P在AD上时，△AEP为直角三角形，0≤n≤5；当P在CD上时，△AEP为直角三角形，则PE⊥AE，设P（m，4），可得=-2，求出P（-，4），此时l的解析式为y=x+，则n=．

（1）令y=0，则x-1=0，x=2，

∴A（2，0），

∵C的坐标为（-5，4），四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=5，

∴OB=AB-OA=3，∴B（-3，0）；

（2）当x=0时，y＝x﹣1=-1，所以E（0，-1），

∵直线AE沿y轴向上平移得到l，当l到达C点时的解析式为y=x+，

此时l与y轴的交点为（0，），

当0≤n≤5时，S=×4×（5-n）=10-2n；

当5＜n≤时，S=×4×（n-5）=2n-10；

（3）∵D（0，4），A（2，0），E（0，-1），

∴AD=2，AE=，ED=5，

∴AD2+AE2=ED2，

∴AD⊥AE，

当P在AD上时，△AEP为直角三角形，

∴0≤n≤5；

当P在CD上时，△AEP为直角三角形，

则PE⊥AE，

设P（m，4），

∴=-2，

∴m=-，

∴P（-，4），

∴此时l的解析式为y=x+，

∴n=；

综上所述：当△AEP为直角三角形时，n=或0≤n≤5．