Question

18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8，点P是AC延长线上的一个动点，过点P作PE⊥AD，垂足为E，作CD延长线的垂线，垂足为E，则|PE-PF|=4.8．

Answer 1

分析 延长BC交PE于G，由菱形的性质得出AD∥BC，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=3，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，由勾股定理求出AD，由对顶角相等得出∠PCF=∠PCG，由菱形的面积的两种计算方法求出EG，由角平分线的性质定理得出PG=PF，得出PE-PF=PE-PG=EG即可．

解答 解：延长BC交PE于G，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=3，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，
∴AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=5，∠PCF=∠PCG，
∵菱形的面积=AD•EG=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∴EG=4.8，
∵PE⊥AD，
∴PE⊥BG，
∵PF⊥DF，
∴PG=PF，
∴PE-PF=PE-PG=EG=4.8．
故答案为：4.8．

点评 本题考查了菱形的性质、勾股定理、角平分线的性质定理、菱形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证出PG=PF是解决问题的关键．